0 是自然数吗？ [复制链接]

记得自然数指的是 1、2、3、4、5……，不知道从什么时候开始变成了 0、1、2、3、4、5……

《现代汉语词典》第1、2、3、4版：
【自然数】zìránshù  大于零的整数，即 1，2，3，4，5，…。

《现代汉语词典》第5版：
【自然数】zìránshù  [名] 零和大于零的整数，即 0，1，2，3，4，5，…。

《现代汉语词典》第6、7版：
【自然数】zìránshù  [名] 零和大于零的整数，即 0、1、2、3、4、5……。
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《现代汉语规范词典》第1版：
【自然数】zìránshù  [名] 大于零的整数，即正整数，如 1、2、3……。

《现代汉语规范词典》第2、3版：
【自然数】zìránshù  [名] 零和正整数（大于零的整数）。如 1、2、3……。
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《新华词典》第3版：
【自然数】也叫正整数。大于零的整数，即 1，2，3，4，5，6…。

《新华词典》第4版：
【自然数】零和大于零的整数，即 0，1，2，3，4，5，6……。
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《辞海》第5版：
【自然数】在人类历史发展的最初阶段，由于计量的需要，用训表示个数的数目。首先有数目一，以后逐次加一，即得二、三、四等等，统称为“自然数”。自然数是整数的一部分，就是“正整数”。还可以用公理的方法来刻画自然数，参见“皮亚诺公理”。

《辞海》第6版：
【自然数】在人类历史发展的最初阶段，由于计量的需要，用以表示个数的数目。首先有数目一，以后逐次加一，即得二、三、四等等，统称“自然数”。自然数是整数的一部分，就是“正整数”。还可以用公理的方法来刻画自然数（参见 1727页“皮亚诺公理”）。由于数 0 的使用十分普遍，在现代数学中往往把 0 也归属于自然数，因此，自然数集 N 就是正整数集 N+ = {1，2，3，…} 与 {0} 的并集。
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《中国大百科全书》第2版：
【自然数(natural number)】人类由比较进而计量事物多少的需要形成的最早的数学概念。现代通用阿拉伯数字（又称印度–阿拉伯数字），记作 0,1,2,3…阿拉伯数字始创于中印边界地区（但是没有 0），后来传到阿拉伯地区，而得此名。自然数概念初步形成当在史前时期，详情已难于追索。所有具有文字的民族很早都已掌握自然数并建立了计数系统，这表示自然数是人类文明发轫标志之一。某些民族语言中有表示诸如“3 个人”、“3 只船”的词而无表示抽象的“3”的词，这表明形成自然数概念经历时间应当很长。受惠于先人、从小习惯于计数的今人，实已难于体味其形成过程之漫长，产生意义之重大。……

　　随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。

　　思考之一：为什么要把0划归自然数。
　　从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

　　思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？
　　0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。
　　因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？
　　《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。
　　所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是9，最小一位数是1；最大两位数是99，最小两位数是10；最大三位数是999，最小三位数是100……”
　　综上所述，“0”虽然是最小的自然数，但仍然不能称为“一位数”，更不能称为最小的一位数。

　　思考之三：自然数的计数单位还是“1”吗？
　　大家都知道，0是自然数中最小的一个。0加1得1，1加1得2 ，2加1得3，……这样继续下去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多1。因此，任何一个自然数都是由若干个1合并而成，所以1是自然数的单位。0可以看成是由0个1组成的自然数。

　　思考之四：0是其他非零自然数的倍数吗？
　　《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数”。以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是把0排除在外的。为此，《九年义务教育六年制小学数学》第十册50页明确指出：“为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”。这样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。

　　思考之五：0是不是合数？
　　过去，在教学中，关于自然数的组成，有两种情况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合；二是所有的质数与所有的合数及1也组成自然数集合。现在0也成为了自然数集合的一员，因而有许多教师提出这样的问题：0是不是合数？
　　前面已经谈过了，以后“在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”，但作为一种学术研究，进行探讨也未尝不可。笔者以为，0的约数有无数个，根据《九年义务教育六年制小学数学》第十册中关于合数的定义：“一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。”似乎应该把0划归为合数范围，但仔细一想0是个特殊的自然数，因为所有非零自然数都有“本身”这个约数，如，1是1的约数，2也是2的约数……，而0这个自然数恰恰少了“本身”这个约数，因此，也不能归为合数。试想：假设如果0是合数，那么它能用质因数相乘的形式表现出来吗？这就与“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”产生了矛盾。所以，我主张把0划归为“既不质数，也不是合数”范围。当然了，这需要权威机构和专家们的认定。但我认为，目前在没有明确0是不是合数的情况下，还是以回避为好。

　　思考之六：“任何相邻的两个自然数是互质数”对吗？
　　0没有成为自然数时，这一结论毫无疑问是正确的。现在0也是自然数，我们只要研究“0和1”这两个相邻的自然数是不是质数，就行了。根据《九年义务教育六年制小学数学》第十册中关于互质数的定义：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”笔者认为，0的约数有无数个，而1的约数只有一个，那就是它本身。综上所述，0和1的公约数只有“1”，因此，0和1是互质数。自然，“任何相邻的两个自然数是互质数”这个结论也是正确的。

见：http://bbs.pep.com.cn/thread-202694-5-1.html

　　听说中小学教科书都说数0 是自然数，并说这是国家的规定。怎么有这样的规定？是谁规定?从网上查找，有两段：
　　1.“1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量的单位》（11-29）第311 页，规定自然数包括0。”
　　2.“国家技术监督局于1994年11月发布的《中华人民共和国国家标准：物理科学和技术中使用的数学符号》中，把数0列入自然数，并规定自然数集记为N= ，而将原自然数集称为非零自然数集，记为N+或N+ 。”
　　这两个说法时间不一致，我想查看原文，而在网上查找不到。这也不奇怪，因为在那个年代，制定者必定印制成书本，借独家出售而大大创收。但是看来两者是一回事，是国家技术监督局（不大可能是别的什么局）以国家的名义发布的红头文件。理由是与世界接轨。我认为这实际上是与世界脱轨。再者，从网上看到的评论，大部分都是用佞论与谎言为这么个错误文件抬轿子的，屡见“评论已关闭”，明确的反对意见难得一见。本文一是说明这个文件为什么是错误的，二是反驳那些有抬轿子之嫌的贴吧（概不点名）的言论，三是提出建议。
　　
　　一、用国家的名义规定0是自然数是错误的
　　1.按照常理，所谓自然数，顾名思义，当是指人类在远古时期长久的生产和生活过程中自然认知、最早认知的数。所以，自然数理当是1、2、3、4、5等这些正整数，用现在的话说，是运用一一对应得到的人类最早的最伟大的抽象思维的成果；而且定名为“自然”数，是十分妥帖的。古希腊神圣的四象，我国古老的五行，老子《道德经》中"一生二，二生三，三生万物"等，都说明人类在远古时代对这些简单的正整数的尊崇与敬畏。而数0的引入，是在公元七世纪以后的事，少说也比这些正整数晚了一万年。所以，把数0列入自然数实在是很不“自然”的。
　　2.在网上点入“国家技术监督局的职责”，即可查到《国务院办公厅关于印发国家质量技术监督局职能配置内设机构和人员编制规定的通知（1998年6月24日 国发[1998]84号）》，其中的“一、职能调整（共五项）；二、主要职能（共十项）”。不论是调整前的职能或是调整后的职能，它都无权规定“自然数是什么”，更扯不上给自然数集合规定用什么表示符号。所以，技术监督局关于自然数的全部规定违背法律法规，是无效的，它以国家的名义发布此项规定，性质是严重的。
　　3.中国大百科全书出版社于1988年11月出版《中国大百科全书·数学卷》，该书的数学编辑委员会是由当时的数学学术泰斗和精英70余人组成。书中第602页右联第18行是“一切自然数的集合记为{1,2,3, …,n,…}，简记为N。”
　　国家技术监督局于五六年后，不顾《中国大百科全书—数学卷》对自然数的解释，蛮横地规定0是自然数，这不仅是对数学泰斗和精英的蔑视，也是对全国学术界、科学家的示威。
　　4.中国大百科全书出版社与1999年出版《中国百科大辞典》，该书第9卷7139页，有“自然数 又称正整数。1,2,3,4,5,…等数。它是人类对数的认识的最早的一类。在生产和生活中由于计量物体数量的需要而逐步形成的一类数。……。”
　　 在国家技术监督局错误规定0是自然数之后的五六年，中国大百科全书出版社抵制错误，于1999年仍然坚持自然数从1开始。这就是数学界对国家技术监督局的回应。
　　
　　二、网上对这一错误规定的错误帖子
　　1.有人发帖子说“19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。”这指的应该是意大利数学家G.皮亚诺（1858-1932）的自然数公理。的确，G.皮亚诺本人叙述这公理时把数0作为第一个自然数，但是，后人叙述自然数公理时都改为以数1作为第一个自然数，查《中国大百科全书—数学卷》602页或《中国百科大辞典》第9卷7139页，也可以查百度网或其他网站就可以知道。自然数公理并不复杂，具用初中数学知识就看得懂。这个公理既可以从数0开始，也可以从数1开始。后人叙述自然数公理时去掉0，正说明大家都认为0不是自然数。自然数公理内容之一是：“每一个自然数n都有一个后继的自然数（指的是n+1），并且不是1的自然数都是另一个自然数的后继”。于是，有人猜想当初皮亚诺发表自然数公理时为了使自然数1与其他的自然数居于完全相同的地位，而引入了个起始数0。当然，对这样的猜想不值得讨论。
　　2.有人在帖子上说“从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点，一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。”这实在是言重了。事实上，几千年历史，数学界始终认定0不是自然数，这是共识，本文“一、3与4”即是佐证。的确是有人主张把0归入自然数，但这只是极其个别人的主张，两者不能相提并论，谈不上是两种不同的观点。比如大海里漂浮着鸟类的羽毛，我们不能由此而认为大海是由海水和羽毛组成的。
　　3.有人说“把数0列入自然数是为了与世界接轨”。还有人说“世界上大多数国家已经把数0归入自然数”。但是，联合国有192个成员国，有谁能够举出其中的1/10个国家认为数0是自然数？有1/20的用国家名义规定0是自然数？接轨是接的哪家的轨？实际情况是，把数0引入自然数破坏了与世界的接轨。现在是网络时代，为了给国家技术监督局掩饰错误而颠倒是非是很容易露出马脚的！
　　4.又有人说（大意）“自然数有基数功能，所以把数0列入自然数。”这肯定不是理由。作为基数功能，在介绍基数时指出“空集的基数是数0”这就够了，充其量可以指出有限集合的基数集合是非负整数，这已经是画蛇添足；更完全没有必要为此而节外生枝地把数0叫做自然数，也显现不出把数0引入自然数有什么丝毫的方便。关于基数与序数知识，在本文“一、3与4”所指的页数上都能查找到。
　　5.有帖子说（大意），“有些学科（如计算机学科）用数0 多。所以主张把0列入自然数。”显然，是不是把一个数列入自然数，与使用这个数的多少没有关系。
　　6.有贴子说“英国教材里规定了0是自然数”。这话含糊不清；是英国有一本教材规定0是自然数，或是英国小学中学大学的教材都规定0是自然数？如果是前者，当然不足为凭，如果是或者，必然是统一规定的。那么，是谁规定的呢？英国也有个与我国“国家技术监督局”类同的机构以英国国家名义规定的？查看《不列颠百科全书》国际中文版（12）numbertheory第275页第1栏倒数第5行，有“自然数（1,2,3,…）”。于是，那个类同的英国国家技术监督局的规定与权威的《不列颠百科全书》相矛盾，这真是“一”中所说的中国问题的英国版，或者是英国问题的中国版。这可能吗？说话必须实事求是，不能因为给国家技术监督局打圆场而说些费解的不实之词。
　　7.还有帖子说：“建国以来，我国中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了国际交流的方便，…”。这个帖子上是两句话，其中的第一句话表明把0规定为自然数是反历史、反传统的。第二句话竟然搬出了“国外数学界的大部分”，请问：外国数学界的大部分是怎么得到的，又占总部分数的几分之几？这类没有根据又难以琢磨的说教，我还真不知道怎么批驳了。
　　8.有帖子说“以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始”。请问：法国能够代表哪些国家？多数又是多少？联合国有192个国家参加，多数又应该的多少？
　　由于各国的文化底蕴不同，历史背景各异，是有些国家约定俗成地认为0是自然数。
　　现在的问题是，我国的国家技术监督局，不顾我国约定俗成的历史传统，不顾1980年代我国数学界70余位一代宗师的正确意见，不顾自己的职责范围，以中华人民共和国的名义，硬性规定0是自然数。
　　
　　三、把数0叫做自然数的负面影响
　　举例如下：
　　1.与世界接轨是必由之路，特别是技术术语与符号尤其要与世界主流用法保持一致。国家技术监督局规定“数0是自然数”是蛮横地打破了原来的接轨，是生硬地制造了一个与世界的错轨。
　　2.迫使教科书的改写
　　目前中小学的数学教材已经改写把数0列入了自然数。高等教育出版社出版的两本经典大学数学教科书，华东师范大学编《数学分析》第三版和同济大学编《高等数学》第五版都全部删除了自然数术语。中学教科书是不得已的屈从，大学教科书是有意的回避。
　　3.迫使辞书类的改写
　　国人使用最多的、商务印书馆的《现代汉语词典》，本来一直解释自然数是指1,2,3,…,而在国家技术监督局1994(1993)的错误规定之后十多年的《现代汉语词典》新版本已经改写，把数0归入自然数。我们理解《现代汉语词典》编辑室的难处。
　　4.什么是“自然数”，这本来是数学的基本常识。现在的三十岁以上的人绝大多数都不知道数0是自然数。国家技术监督局粗暴的规定，客观上陷中年人和老年人于无知，人为制造了两（三）代人之间的一条鸿沟。
　　5.中国大百科全书出版社出版的《中国大百科全书》与《中国百科大辞典》，是我国学术界一带宗师付出心血的力作，并且在国际上得到广泛好评。国家技术监督局把0列入自然数，与这两套巨著对着干，这无疑是中国人打自己的嘴巴让外国人看笑话。
　　
　　四、建议
　　1.建议国家技术监督局在进一步深入学习科学发展观的过程中，尊重科学，尊重科学家，撤消0是自然数的规定。
　　由现在的国家技术监督局领导，改正前任（可能是前几任）领导的错误，也许有困难。但是，改正错误毕竟是好事，是能够得到社会的支持和称赞的。
　　比如，我国曾规定测量血压的单位一律用kpa，废除原本使用的水银柱高mm，理由也是为了与世界接轨。（在网上已经查找不到这个规定的出处，这可能也是国家技术监督局的“杰作”，因为血压的计量单位属于度量衡范畴，不像自然数那样与国家技术监督局的职责不沾边）随后硬性规定如果不用kpa而仍用水银柱高的论文卫生部管理的刊物一律不与发表，于是就不能评上职称。医界人士调查得知；全世界只有中国一家用kpa，都是用的水银柱高。于是医界人士经过长期群起力争，官僚们不得不先宣布两个方法并用，后又规定只用水银柱高一种方法。广大医务工作者和略有量血压知识群众无不拍手称道。
　　2.如果国家技术监督局不同意撤消“数0是自然数”的规定，请公示规定把0归入自然数的真正理由，发动大家在网上公开讨论。
　　3.为了与国际接轨，在国家技术监督局修改这一规定之前，建议中小学教材暂且不要使用“自然数”这个术语，一律称为正整数，非负整数。仿照大学数学教材的回避处理办法。并恢复使用《中国大百科全书—数学卷》和《中国百科大辞典》规定的符号N={1,2,3, …,n,…}。
　　4.要求现在的国家技术监督局撤消十五六年前的决定，并不是那么容易的。建议对于0是不是自然数有个人见解的人士，积极在网上发表自己的意见，最好是有根有据的说理，表个态度也好。请注意分寸，不恶语伤人。

见：http://www.tianya.cn/publicforum/content/free/1/1543156.shtml